Даны две точки с координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2). Каково расстояние между ними?
Работа сделана по статьям Александра Емелина
Коллинеарные векторы могут быть .... и ......
сонаправленными и противоположно направленными
Если мы умножаем вектор на число, получится .... к исходному вектор
коллинеарный
Два вектора равны, если они ........
сонаправлены и имеют одинаковую длину
Какая связь между базисными векторами плоскости и любым вектором плоскости?
Любой вектор плоскости можно единственным образом выразить через базисные вектора плоскости.
Даны две точки с координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2). Каково расстояние между ними?
Как найти длину вектора пространства?
Как сложить два вектора?
Надо сложить их соответствующие координаты.
Как умножить вектор на число?
Надо умножить на это число каждую его координату
Чему равно скалярное произведение двух векторов?
Это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если два вектора ортогональны, их скалярное произведние ......
равно нулю
Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы ....
ортогональны
Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно ....
сумме произведений их соответствующих координат
Два вектора ортогональны. Чему равно их скалярное произведение в ортонормированном базисе?
нулю
Как проверить перпендикулярность двух отрезков, если известны их конечные точки?
Нужно вычислить скалярное произведение векторов, заданых точками каждого отрезка. Если оно равно нулю, отрезки перпендикулярны
Чему равен косинус угла между векторами?
скалярному произведению векторов, делёному на произведение длин этих векторов.
формула проекции вектора v на вектор w
что такое направляющие косинусы вектора?
это косинусы углов между вектором и его координатными осями
Чему равны направляющие косинусы?
отношению координаты вектора к его длине
Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они ....
коллинеарны
Для того чтобы два вектора плоскости или пространства были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы ......
их соответствующие координаты были пропорциональны
Если векторы коллинеарны, то определитель ..... равен ....
если векторы коллинеарны, то определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю
.... вектора называются компланарными, если ......
три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны
Компланарные векторы всегда .......
линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга
Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, .......
составленный из координат данных векторов, равен нулю
Важен ли порядок векторов при вычислении их векторного произведения?
да
Чему равна длина вектора - результата произведения векторов?
площади параллелограмма, построенного на исходных векторах
Если изменить порядок векторов при их умножении, получим ......
вектор, равный по длине и противоположный по направлению к первоначальному результату
Формула длины векторного произведения векторов
длины умножаемых векторов умножить на синус угла между ними
Площадь треугольника, образуемого двумя векторами, равна ....
половина длины векторов умножить на синус угла между ними
Куда направлен вектор произведения векторов?
перпендикулярно исходным векторам, так что они образуют правоориентированный базис
Если векторы коллинеарны, их векторное произведение
равно нулю
Чему равно векторное произведение вектора на самого себя?
нулю
Чему равно векторное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе?
Как можно проверить результат вычисления векторного произведения векторов?
скалярно умножь получившийся вектор на любой из первоначальных. Результат должен быть равен нулю
Что такое смешанное произведение векторов?
это произведение трёх векторов, взятых в определённом порядке
Чему равен результат смешанного произведения векторов?
объёму параллелепипеда, который они образуют
чему равен объём тетраэдра
одной шестой объёма параллелепипеда
Чему равно смешанное произведение векторов в координатах?
формула деления отрезка в данном отношении
формула деления отрезка в данном отношении в пространстве
формула координат середины отрезка
формула координат середины отрезка в пространстве
Чему равен угловой коэффициент прямой?
тангенсу угла между положительным направлением оси OX и данной прямой
как составить уравнение прямой по известным координатам принадлежащей ей точки и угловому коэффициенту?
какой вид имеет общее уравнение прямой?
первый коэффициент сделай положительным
Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
как составить уравнение прямой по двум точкам?
прямая задана уравнением Ax+By+C=0 Как найти направляющий вектор данной прямой?
-B; A
прямая задана уравнением Ax+By+C=0 Как найти вектор нормали (перпендикуляра) к прямой?
A; B
какой вид имеет уравнение прямой в отрезках и чем оно удобно?
оно позволяет быстро найти точки пересечения прямой с координатными осями
как выглядит параметрическое уравнение прямой?
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, ......
когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны
Две прямые параллельны тогда и только тогда, .....
когда их коэффициенты при переменных x и y пропорциональны
Две прямые пересекаются тогда и только тогда, ....
когда их коэффициенты при переменных x и y НЕ пропорциональны
а как ещё Емелин предлагает определять взаимное расположение двух прямых?
Вытаскивать из формул прямых направляющие вектора и считать определитель из их координат, если он нулевой, прямые параллельны либо совпадают.
а что равно нулю, если прямые перпендикулярны?
Произведение их направляющих векторов
Есть формула прямой и координаты точки. Как построить прямую, параллельную данной и проходящую через точку?
надо "вытащить" из формулы прямой направляющий вектор и по нему и координатам точки определить формулу прямой
Даны формулы двух пересекающихся прямых. Как найти точку их пересечения?
надо решить систему двух уравнений. Одно из уравнений домножить на число и вычесть из другого так, чтобы x либо y "исчез". Найти оставшуюся координату, а через неё другую
Дано уравнение прямой и координаты точки. Как найти прямую, перпендикулярную данной, проходящую через точку?
"снять" вектор нормали с уравнения прямой. По вектору и координатам точки найти уравнение перпендикулярной прямой
Дано уравнение прямой и координаты точки. Как найти расстояние от точки до прямой?
Дано уравнение прямой и координаты точки. Как найти координаты точки, симметричной данной относительно прямой.
Надо найти уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку. Найти точку пересечения прямых. По формуле середины отрезка найти координаты искомой точки
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
можно разными способами, в частности, найти расстояние от какой-то точки, лежащей на одной прямой, до другой прямой
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается ...
меньший угол
угол с отрицательным значением ориентирован ....
по часовой стрелке
как найти угол между двумя прямыми?
3 способа
Если обе части неравенства умножить (разделить) на отрицательное число, ...
знак неравенства меняется
если одна точка полуплоскости удовлетворяет условию неравенства, то ....
все точки полуплоскости удовлетворяют
какую линию на плоскости называют алгебраической?
ну, линию, уравнении которой нету синусов, косинусов, логарифмов там всяких
Чему равен порядок такой линии?
максимальному значению суммы степеней переменных входящих в её уравнение слагаемых
определение эллипса
Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса
каноническое уравнение эллипса
определение гиперболы
множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы
каноническое уравнение гиперболы
определение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку
каноническое уравнение параболы
Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно ...
зафиксировать начало координат и задать единичный координатный вектор
Любая отличная от начала координат O точка M плоскости однозначно определяется ....
своим расстоянием OM от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком OM
что такое полярные координаты?
Первая координата - полярый радиус. Вторая координата - полярный угол
как найти декартовы координаты точки по её полярным координатам?
Как найти первую полярную координату через декартовы координаты?
уравнение линии в полярной системе координат представляет собой ...
функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента).
какой вид имеет общее уравнение плоскости?
Ax+By+Cz+d=0 где A, B, C, не равны одновременно нулю
Как составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам?
Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+d=0 , какой вектор нормали к данной плоскости?
вектор (A, B, C)
для того чтобы найти единичный вектор, параллельный известному, нужно ....
каждую координату разделить на длину вектора
координаты единичного вектора – это ...
направляющие косинусы исходного вектора
Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
Как построить плоскость, параллельную данной, проходящую через известную точку?
вытащить из уравнения плоскости вектор нормали и далее как в предыдущем вопросе
Как найти расстояние от точки до плоскости?
Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, ....
когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны
Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда ...
их коэффициенты при переменных пропорциональны, но последний коэффициент (D) нет
Расстояние между двумя параллельными плоскостями выражается формулой ...
угол между плоскостями можно найти через ...
угол между нормальными векторами данных плоскостей
каноническое уравнение прямой в пространстве
Как составить уравнения пространственной прямой по двум точкам?
